Nasceu a 8 de Julho de 1840, na Horta, no seio de uma família da aristocracia local de ascendência flamenga.
Baptizado Manuel José de Arriaga Brum da Silveira e Peyrelongue, era filho de Sebastião José de Arriaga Brum da Silveira e de Maria Christina Pardal Ramos Caldeira.
Estudou em Coimbra, entre 1861 e 1866. Revelando as mais distintas qualidades oratórias a par de não menores qualidades de talento, vem a concluir um brilhante bacharelato em Direito.
Ali frequentou os movimentos estudantis e, no convívio com professores e outros jovens intelectuais, abraçou o ideário republicano. A fase coimbrã ficou ainda marcada pela ruptura ideológica com o pai, que o levou a renunciar aos apelidos de família e a ter de prover ao seu sustento.
Terminado o curso, rumou a Lisboa, tornando-se um advogado de causas, notabilizado em julgamentos com cariz político. Tendo entretanto concluído a licenciatura em Direito (1875), e frustradas as pretensões a uma carreira académica, prejudicada por motivos políticos, continuou a leccionar inglês no Liceu Nacional de Lisboa.
Em simultâneo, foi desenvolvendo uma intensa militância política, que o conduziu aos mais altos cargos de liderança e representação política republicana. Foi eleito deputado, por duas vezes: 1882-1884, pelo círculo do Funchal e 1890-1892, pelo círculo de Lisboa. Nos anos de 1886 e 1887, foi vereador da Câmara Municipal de Lisboa. Em 1891, integrou a comissão encarregada de redigir o programa do Partido Republicano, de cujo Directório fazia parte conjuntamente com Azevedo e Silva, que lhe irá suceder no cargo de Procurador-Geral da República. Elemento preponderante do pequeno círculo de fundadores do partido, vai também sendo solicitado para as tarefas de propaganda republicana.
No final do século, atingidos os 60 anos, retira-se paulatinamente da política activa, passando a dedicar mais atenção à escrita literária e ensaística.
Poucos dias após a implantação da República, foi nomeado reitor da Universidade de Coimbra, tomando posse no dia 19 de Outubro. No início do seu reitorado, formulou ao Governo várias propostas tendentes a melhorar o ensino e o regime de estudos, que foram concretizadas em larga medida na variada legislação aprovada nos meses seguintes.
Veio a renunciar ao cargo em 3 de Fevereiro de 1911.
Logo de seguida, premiando assim um dos paladinos da propaganda republicana e que fora também um dos maiores causídicos portugueses, o Governo Provisório nomeou-o Procurador-Geral da República.
Tomou posse em 17 de Novembro de 1910, em acto presidido pelo ministro da Justiça, Afonso Costa.
Em Agosto seguinte, é votada a Constituição Política da República Portuguesa, a cuja comissão de redacção do texto final presidira.
Alguns dias depois, em 24 de Agosto, foi eleito Presidente da República.
Tinha, então, 71 anos de idade. A agitação interna causada pela falta de apoio parlamentar aos sucessivos governos que formou, conduziu a que resignasse ao cargo, em 26 de Maio de 1915.
Morreu dois anos depois, a 5 de Março de 1917, em Lisboa.
Para além de diversas obras literárias e de poesia, publicou:
O systema penitenciario, quando exclusivo e unico, abrangerá os phenomenos mais importantes da criminalidade, e, não os abrangendo, converter-se-ha numa instituição contraproducente e nefasta? (tese apresentada ao Congresso Jurídico de Lisboa, ocorrido em 1889, na Academia Real das Ciências)
Harmonias sociais. O problema humano e a futura organização social (no debute da sua fase definitiva). A paz dos povos, Lisboa, 1907
O seu nome encontra-se perpetuado na toponímia, entre muitas outras localidades, das cidades da Horta e de Lisboa, onde a rua em que morava passou a denominar-se Presidente Arriaga.
